Question

王晓说：有一个三角形（记为△ABC），其中∠B=60°，D是AB上一点，连接CD，延长BC至点E，使CE=BC，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．爸爸，您能根据我上面的描述用AuToCAD画出来吗？
爸爸说：当然！我根据你的描述画了甲、乙两个图（如图所示）呢～～～
请你根据王晓的描述和王晓爸爸所画的图，回答下列问题．
（1）经测量甲图中∠BAC=30°，∠BCD=30°，试判断△CBD与△FAD是否相似，并说明理由；
（2）在乙图中∠BAC≠30°，请你求证：

AB

AD

+

AE

AF

=2．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）如图甲，证明∠B=∠DAF，∠BDC=∠ADF，即可解决问题．
（2）如图乙，作辅助线；证明

AE

AF

=

AM

AD

；证明BD=DM（设为λ），设AM=μ；得到AD=λ+μ，AB=2λ+μ，即可解决问题．

解答：解：（1）△CBD∽△FAD；理由如下：
如图甲，∵∠BAC=30°，
∠BCD=30°，∠B=60°，
∴∠BDC=∠BCA=90°；
AC⊥BE，而BC=CE，
∴AB=AE，∠BAC=∠EAC=30°，
∴∠DAF=60°，
∴∠B=∠DAF，∠BDC=∠ADF，
∴△CBD∽△FAD．
（2）如图乙，过点作EM∥DF；
则△AME∽△ADF，
∴

AE

AF

=

AM

AD

；
∵BC=CE，CD∥ME，
∴BD=DM（设为λ），设AM=μ；
∴AD=λ+μ，AB=2λ+μ；
∴

AB

AD

+

AE

AF

=

2λ+μ

λ+μ

+

μ

λ+μ

=

2(λ+μ)

λ+μ

=2，
即

AB

AD

+

AE

AF

=2．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形；运用相似三角形的性质来分析、判断．