Question

13．己知，如图（1），在矩形OABC中，OA=12，OC=9，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．Rt△DEF中，点D与点O重合．∠DEF=90°，DF=$\frac{25}{4}$，DE=5，∠AOB=∠FOE．
（1）填空：直线OB的解折式为：y=$\frac{4}{3}$x；图（1）点E的坐标是（3，-4）；
（2）如图（2），若将△DEF沿着射线OB方向平移，设平移的距离为k，当点E恰好平移到线段OC上时，求平移的距离k的值．
（3）在（2）问情况下，即当点E平移到线段OC上时，是否存在直线OB上的点M和线段BC上的点N，使以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出点B的坐标，用待定系数法求出直线解析式；利用勾股定理和三角形的面积求出DG，EG；
（2）先判断时，点C在x轴上时，点G也在x轴上，得出点D的坐标，从而求出OD，即可；
（3）按DE为边和对角线分两种情况讨论计算．

解答 解：（1）∵在矩形OABC中，OA=12，OC=9，
∴B（9，12），
∴直线OB的解析式为y=$\frac{4}{3}$x，
如图（1），

过点E作EG⊥DF，
∵Rt△DEF中，点D与点O重合．∠DEF=90°，DF=$\frac{25}{4}$，DE=5，
∴EF=$\sqrt{D{F}^{2}-D{E}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
∴EG=$\frac{DE×EF}{DF}$=3，
∴DG=$\sqrt{D{E}^{2}-E{G}^{2}}$=4，
∴E（3，-4），
故答案为：y=$\frac{4}{3}$x，（3，-4）
（2）如图（2），

当点E恰好平移到线段OC上时，即：点G也落在x轴上，
∴DG'=DG=4，
∴点D的纵坐标为4，
∵点D在直线OB上，
∴4=$\frac{4}{3}$x，
∴x=3，
∴D（3，4）；
∴OG'=3，DG'=4，
∴根据勾股定理得，OD=5．
∴平移的距离k的值为5．
（3）由（2）知，D（3，4），EG'=EG=3，
∴E（7，0），
∵以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当DE为边时，即DE∥MN，DE=MN，
∵D（3，4），E（7，0），
∴直线DE解析式为y=-x+7，DE=3$\sqrt{2}$，
设直线MN的解析式为y=-x+b，（0≤b≤21），
∵点N在边BC上，
∴N（9，b-9），
∵M在直线OB上，
∴M（$\frac{3}{7}$b，$\frac{4}{7}$b），
∴MN=$\sqrt{（9-\frac{3}{7}b）^{2}+（b-9-\frac{4}{7}b）^{2}}$
∵DE=MN，
∴3$\sqrt{2}$=$\sqrt{（9-\frac{3}{7}b）^{2}+（b-9-\frac{4}{7}b）^{2}}$
∴b=$\frac{42}{3}$或b=28（舍），
∴直线MN的解析式为y=-x+$\frac{42}{3}$，
∵点M在直线OB：y=$\frac{4}{3}$x，
∴M（6，8）．
当DE为对角线时，DE与MN互相平分，
∵D（3，4），E（7，0），
∴线段DE的中点坐标为（5，2）
∵点N在边BC上，点M在直线OB上，
设点N（9，n），M（m，$\frac{4}{3}$m），（0≤n≤12）
∴9+m=10，$\frac{4}{3}$m+n=4，
∴m=1，n=$\frac{8}{3}$，
∴M（1，$\frac{4}{3}$）．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，平行四边形的性质，平移的性质，解本题的关键是确定出点D的坐标，求点M的坐标是解本题的难点．