Question

四个顶点都在正方形边上的四边形叫做正方形的内接四边形，如图1，正方形EFGH就是正方形ABCD的内接正方形，已知正方形ABCD的边长为a．
（1）请在图1中画出面积最小的正方形ABCD的内接正方形E₁F₁G₁H₁（要求用文字标明取点方法）；
（2）如图2，四边形E₂F₂G₂H₂是正方形ABCD的内接平行四边形，AE₂=x，AH₂=y，请探讨
①当x、y满足什么条件时，四边形E₂F₂G₂H₂是矩形；（要求写出过程）
②用x的代数式表示矩形E₂F₂G₂H₂的面积S，并写出S的取值范围．（直接写出结果）

Answer 1

解：（1）分别取正方形ABCD四边中点，顺次连接
（2）①证明：△AE₂H₂≌△CG₂F₂，得CF₂=AH₂=y；
△AE₂H₂∽△BF₂E₂，得=，
即=，
化简得：（x-y）（x+y-a）=0，
∴x=y或x+y=a，
∴当x、y满足x=y或x+y=a时，四边形E₂F₂G₂H₂是矩形；
②当x=y时，S=-2x²+2ax（0＜S≤）．
当x+y=a时，S=2x²-2ax+a²（≤S≤a²）．
分析：（1）分别取顺次连接正方形ABCD四边中点即可．
（2）首先证明△AE₂H₂≌△CG₂F₂推出CF₂=AH₂=y，然后证明△AE₂H₂∽△BF₂E₂，利用线段比求出，当四边形E₂F₂G₂H₂是矩形时，x，y满足的条件．分x=y，x+y=a两种情况考虑，得出S的取值范围．
点评：本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定以及全等三角形的判定的有关知识．