Question

如图1，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D，E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a，h，且是关于x的一元二次方程mx²＋nx＋k＝0的两个实数根，设过D，E，F三点的⊙O的面积为S_⊙O，矩形PDEF的面积为S_矩形PDEF．

(1)求证：以a＋h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；

(2)求的最小值；

(3)当的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m，n，k的取值是否有关？请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：解法一： 　　(1)据题意，∵a＋h＝． 　　∴所求正方形与矩形的面积之比：　　1分 　　∵n2－4mk≥0，∴n2≥4mk，由知同号，∴mk＞0　　2分 　　(说明：此处未得出mk＞0只扣1分，不再影响下面评分) 　　∴　　3分 　　即正方形与矩形的面积之比不小于4． 　　(2)∵∠FED＝90°，∴DF为⊙O的直径． 　　∴⊙O的面积为：．　　4分 　　矩形PDEF的面积：S矩形PDEF＝EF·DE． 　　∴面积之比：设 　　 　　　　6分 　　　　5分 　　∵，∴ 　　∴，即F＝1时(EF＝DE)，的最小值为　　7分 　　(3)当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形． 　　过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP＝e， 　　∵BN∥FE，NF∥BE，∴BN＝EF，∴BN＝FP＝e． 　　由BC∥MQ，得：BM＝AG＝h． 　　∵AQ∥BC，PF∥BC，∴AQ∥FP， 　　∴△FBP∽△ABQ．　　8分 　　(说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分) 　　∴，　　9分 　　∴．∴　　10分 　　　　11分 　　∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关． 　　(解题过程叙述基本清楚即可) 　　解法二： 　　(1)∵a，h为线段长，即a，h都大于0， 　　∴ah＞0　　1分(说明：此处未得出ah＞0只扣1分，再不影响下面评分) 　　∵(a－h)2≥0，当a＝h时等号成立． 　　故，(a－h)2＝(a＋h)2－4ah≥0．　　2分 　　∴(a＋h)2≥4ah， 　　∴≥4．　　3分 　　这就证得≥4．(叙述基本明晰即可) 　　(2)设矩形PDEF的边PD＝x，DE＝y，则⊙O的直径为． 　　S⊙O＝　　4分，S矩形PDEF＝xy 　　＝ 　　＝　　6分 　　由(1)，． 　　∴． 　　∴的最小值是　　7分 　　(3)当的值最小时， 　　这时矩形PDEF的四边相等为正方形． 　　∴EF＝PF．作AG⊥BC，G为垂足． 　　∵△AGB∽△FEB，∴　　8分 　　∵△AQB∽△FPB，，9分 　　∴＝． 　　而EF＝PF，∴AG＝AQ＝h，10分 　　∴AG＝h＝， 　　或者AG＝h＝　　11分 　　∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关． 　　(解题过程叙述基本清楚即可)