Question

如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）

Answer 1

【答案】分析：（1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=xkm，先解Rt△PBD，用含x的代数式表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关于x的方程，解方程即可；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF=AB=1km，再解Rt△BCF，得出BC=BF=km．
解答：解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=xkm．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°-45°=45°，
∴BD=PD=xkm．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°-60°=30°，
∴AD=PD=xkm．
∵BD+AD=AB，
∴x+x=2，
x=-1，
∴点P到海岸线l的距离为（-1）km；

（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=AB=1km．
在△ABC中，∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴BC=BF=km，
∴点C与点B之间的距离为km．
点评：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中．通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．