Question

如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），
（1）圆弧所在圆的圆心M点的坐标为________
（2）点D是否在经过点A、B、C三点的抛物线上；
（3）在（2）的条件下，求证：直线CD是⊙M的切线．

Answer 1

（1）解：连接AB、BC，
作AB和BC的垂直平分线，两线交于一点，
由图形可知：这点的坐标是（2，0），
∴圆弧所在圆的圆心M点的坐标是（2，0），
故答案为：（2，0）．

（2）解：由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而B（4，4）、C（6，2），
设经过点A、B、C的抛物线的解析式为y=ax²+bx+4，
依题意，解得，
所以经过点A、B、C的抛物线的解析式为，
∵把点D（7，0）的横坐标x=7代入上述解析式，得，
∴点D不在经过A、B、C的抛物线上．

（3）证明：设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连接MC，作直线CD．
则CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，
∵在Rt△CEM中，∠CEM=90°，由勾股定理得：MC²=ME²+CE²=4²+2²=20，
在Rt△CED中，∠CED=90°，由勾股定理得：CD²=ED²+CE²=1²+2²=5，
∴MD²=MC²+CD²，
∴∠MCD=90°，
∵MC为半径，
∴直线CD是⊙M的切线．
分析：（1）连接连接AB、BC，作AB和BC的垂直平分线，两线交于一点，则此点就是圆心M，根据图形即可得出答案；
（2）根据图形求出B、C的坐标，设经过点A、B、C的抛物线的解析式为y=ax²+bx+4，代入B、C的坐标求出解析式，把D的坐标代入看看两边是否相等即可；
（3）设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连接MC，作直线CD，得出CE=2，ME=4，ED=1，MD=5，根据勾股定理求出MC²=20，CD²=5，推出∠MCD=90°，根据切线的判定推出即可．
点评：本题考查了勾股定理，切线的判定，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的应用，通过做此题培养了学生的推理能力和计算能力，题目比较典型，但是一道综合性比较强的题目．