Question

已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．
（1）求证：AH=2OM；
（2）若∠BAC=60°，求证：AH=AO．（初二）

Answer 1

证明：（1）
过O作OF⊥AC，于F，
则F为AC的中点，
连接CH，取CH中点N，连接FN，MN，
则FN∥AD，AH=2FN，MN∥BE，
∵AD⊥BC，OM⊥BC，BE⊥AC，OF⊥AC，
∴OM∥AD，BE∥OF，
∵M为BC中点，N为CH中点，
∴MN∥BE，
∴OM∥FN，MN∥OF，
∴四边形OMNF是平行四边形，
∴OM=FN，
∵AH=2FN，
∴AH=2OM．

（2）证明：连接OB，OC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠BOM=60°，
∴∠OBM=30°，
∴OB=2OM=AH=AO，
即AH=AO．
分析：（1）过O作OF⊥AC，于F，则F为AC的中点，连接CH，取CH中点N，连接FN，MN，得出平行四边形OMNF，即可得出答案．
（2）根据圆周角定理求出∠BOM，根据含30度角的直角三角形性质求出OB=2OM即可．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的中位线定理、含30度角的直角三角形性质、三角形的外接圆与外心、三角形的内角和定理等知识点，题目综合性较强，有一定的难度，但题型较好，难点是如何作辅助线．