已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E为BC边上一点,以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧.
(1)当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时,求BE的长;
(2)将(1)问中的正方形BEFG沿BC向右平移,记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG,当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形B′EFG的边EF与AC交于点M,连接B′D,B′M,DM.是否存在这样的t,使△B′DM是直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)问的平移过程中,设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.
(1)2;(2)存在,t=或﹣3+;.
解析试题分析:(1)首先设正方形BEFG的边长为x,易得△AGF∽△ABC,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得BE的长;(2)首先由△MEC∽△ABC与勾股定理,求得B′M,DM与B′D的平方,然后分别从若∠DB′M、∠DB′M和∠B′DM分别是直角,列方程求解即可;(3)分别从,, 和时去分析求解即可求得答案:
①如图③,当F在CD上时,EF:DH=CE:CH,即2:3=CE:4,∴CE=.
∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣.
∵ME=2﹣t,∴FM=t,
∴当时,S=S△FMN=×t×t=t2.
②如图④,当G在AC上时,t=2,
∵EK=EC•tan∠DCB= ,∴FK=2﹣EK=﹣1.
∵NL=,∴FL=t﹣,∴当时,S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣(t﹣)(﹣1)=.
③如图⑤,当G在CD上时,B′C:CH=B′G:DH,即B′C:4=2:3,解得:B′C=,
∴EC=4﹣t=B′C﹣2=. ∴t=.
∵B′N=B′C=(6﹣t)=3﹣t,∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1.
∴当时,S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×(t﹣1+t)﹣(t﹣)(﹣1)=.
④如图⑥,当时,
∵B′L=B′C=(6﹣t),EK=EC=(4﹣t),B′N=B′C=(6﹣t)EM=EC=(4﹣t),
∴S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=.
综上所述:.
试题解析:(1)如图①,设正方形BEFG的边长为x,则BE=FG=BG=x.
∵AB=3,BC=6,∴AG=AB﹣BG=3﹣x.
∵GF∥BE,∴△AGF∽△ABC. ∴,即,解得:x=2,即BE=2.
(2)存在满足条件的t,理由如下:
如图②,过点D作DH⊥BC于H,则BH=AD=2,DH=AB=3,
由题意得:BB′=HE=t,HB′=|t﹣2|,EC=4﹣t,
∵EF∥AB,∴△MEC∽△ABC. ∴,即. ∴ME=2﹣t.
在Rt△B′ME中,B′M2=ME2+B′E2=22+(2﹣t)2=t2﹣2t+8.
在Rt△DHB′中,B′D2=DH2+B′H2=32+(t﹣2)2=t2﹣4t+13.
过点M作MN⊥DH于N,则MN=HE=t,NH=ME=2﹣t,∴DN=DH﹣NH=3﹣(2﹣t)=t+1.
在Rt△DMN中,DM2=DN2+MN2=(t+1)2+ t 2=
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以平面上一点O为直角顶点,分别画出两个直角三角形,记作△AOB和△COD,其中∠ABO=∠DCO=30°.
(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点,连接EF和FM.
①如图1,当点D、C分别在AO、BO的延长线上时,=_______;
②如图2,将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角(),其他条件不变,判断的值是否发生变化,并对你的结论进行证明;
(2)如图3,若BO=,点N在线段OD上,且NO=3.点P是线段AB上的一个动点,在将△AOB绕点O旋转的过程中,线段PN长度的最小值为_______,最大值为_______.
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如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点 )20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?
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将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开,得到△ABC和△A′C′D,如图1所示,将△A′C′D的顶点A′与点A重合,并绕点A按逆时针方向旋转,使点D、A(A′)、B在同一条直线上,如图2所示,观察图2可知:与BC相等的线段是______,∠CAC′=______°。
问题探究:如图3,△ABC中,AG⊥BC于点G,以A为直角顶点,分别以AB、AC为直角边,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,过点E、F作射线GA的垂线,垂足分别为P、Q,试探究EP与FQ之间的数量关系,并证明你的结论.,
拓展延伸:如图4,△ABC中,AG⊥BC于点G,分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF,射线GA交EF于点H,若AB=kAE,AC=kAF,试探究HE与HF之间的数量关系,并说明理由。
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已知:如图,在△ABC中,AB="AC=" 5,BC= 8,D,E分别为BC,AB边上一点,∠ADE=∠C.
(1)求证:△BDE∽△CAD;
(2)若CD=2,求BE的长.
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如图,矩形OABC在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(0,4),C(2,0).将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转135º,得到矩形EFGH(点E与O重合).
(1)若GH交y轴于点M,则∠FOM= ,OM= .
(2)将矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位.
①直线GH与x轴交于点D,若AD∥BO,求t的值;
②若矩形EFGH与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位,试求当0<t≤4-2时,S与t之间的函数关系式.
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一天晚上,黎明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图,当李明走到点A处时,张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等;接着李明沿AC方向继续向前走,走到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25m,已知李明直立时的身高为1.75m,求路灯的高CD的长.(结果精确到0.1m).
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已知,如图,ABCD中,AD=3cm,CD=1cm,∠B=45°,点P从点A出发,沿AD方向匀速运动,速度为3cm/s;点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s,连接并延长QP交BA的延长线于点M,过M作MN⊥BC,垂足是N,设运动时间为t(s)(0<t<1),解答下列问题:
(1)当t为何值时,四边形AQDM是平行四边形?
(2)设四边形ANPM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t,使四边形ANPM的面积是ABCD面积的一半,若存在,求出相应的t值,若不存在,说明理由
(4)连接AC,是否存在某一时刻t,使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分?若存在,求出相应的t值,若不存在,说明理由
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