Question

（2012•乐山）已知关于x的一元二次方程（x-m）²+6x=4m-3有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x₁与x₂，求代数式x₁•x₂-x₁²-x₂²的最大值．

Answer 1

分析：（1）将原方程转化为关于x的一元二次方程，由于方程有实数根，故根的判别式大于等于0，据此列不等式解答即可；
（2）将x₁•x₂-x₁²-x₂²化为两根之积与两根之和的形式，将含m的代数式代入求值即可．

解答：解：（1）由（x-m）²+6x=4m-3，得x²+（6-2m）x+m²-4m+3=0．…（1分）
∴△=b²-4ac=（6-2m）²-4×1×（m²-4m+3）=-8m+24．…（3分）
∵方程有实数根，
∴-8m+24≥0．解得 m≤3．
∴m的取值范围是m≤3．…（4分）

（2）∵方程的两实根分别为x₁与x₂，由根与系数的关系，得
∴x₁+x₂=2m-6，x1•x2=m2-4m+3，…（5分）
∴x1x2-x12-x22=3x1x2-(x1+x2)2
=3（m²-4m+3）-（2m-6）²
=-m²+12m-27
=-（m-6）²+9…（7分）
∵m≤3，且当m＜6时，-（m-6）²+9的值随m的增大而增大，
∴当m=3时，x1•x2-x12-x22的值最大，最大值为-（3-6）²+9=0．
∴x1•x2-x12-x22的最大值是0．…（10分）

点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系、二次函数求最值，综合性较强，考查了学生的综合应用能力及推理能力．