Question

如图，在直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴交于B点，与y轴交于C点，⊙O₁与x轴交于原点O和点A，又点O₁（2，0），E （0，b）且0＜b＜4，如图所示．
（1）求点A、B、C三点的坐标和O₁B的长；
（2）点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙O₁有哪几种位置关系，并求出每种位置时b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由直线y=2x+4与x轴交于B点，与y轴交于C点，可求B、C两点坐标，⊙O₁与x轴交于原点O和点A，已知点O₁（2，0），可求A点坐标及O₁B的长；
（2）点E在线段OC上移动时，0＜b＜4；先求出直线BE与⊙O₁相切时b的值，再分别求出直线BE与⊙O′相交、相切、相离时，b的取值范围．

解答：解：（1）由直线y=2x+4，令y=0得x=-2，令x=0得y=4，故B（-2，0）、C（0，4），
由⊙O₁与x轴交于原点O和点A，已知点O₁（2，0），故OA=4，
∴A（4，0），O₁B=2+2=4；

（2）当点E在OC上移动时，直线BE与⊙O′有三种位置关系：相交、相切、相离．
若BE与⊙O₁相切时，设切点为F，连接O₁F．则O₁F⊥BE，
于是在Rt△BFO₁中，O₁B=4，O₁F=2，所以∠FBO₁=30°；
在Rt△BOE中，BO=2；
OE=2BE，所以OE=

2

3

3

；
故当0＜b＜

2

3

3

时，直线BE与⊙O₁相交；
当b=

2

3

3

时，直线BE与⊙O₁相切；
当

2

3

3

＜b＜4时，直线BE与⊙O₁相离．

点评：本题考查了已知直线与坐标轴的交点坐标的求法，坐标系中直线与圆的三种位置关系所对应的直线与y轴交点纵坐标的关系．