Question

已知二次函数y₁=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，-）．
（Ⅰ）求二次函数的解析式；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的二次函数，当x取a，b（a≠b）时函数值相等，求x取a+b时的函数值；
（Ⅲ）若反比例函数y₂=（k＞0，x＞0）的图象与（Ⅰ）中的二次函数的图象在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为x₀满足2＜x₀＜3，试求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）设抛物线解析式为y=a（x-1）（x+3）
将（0，-）代入，解得a=．
∴抛物线解析式为y=x²+x-．

（Ⅱ）当x=a时，y₁=a²+a-，当x=b时，y₁=b²+b-，
∴a²+a-=b²+b-，
∴a²-b²+2（a-b）=0，即（a-b）（a+b+2）=0，
∵a≠b，∴a+b=-2．
∴y₁=（a+b）²+（a+b）-=（-2）²-2-=-
即x取a+b时的函数值为．

（Ⅲ）当2＜x＜3时，函数y₁=x²+x-，y₁随着x增大而增大，对y₂=（k＞0），y₂随着X的增大而减小．
∵A（x₀，y₀）为二次函数图象与反比例函数图象的交点，
∴当x₀=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y₂＞y₁，
即＞×2²+2-，解得k＞5．
当x₀=3时，二次函数数图象在反比例上方得y₁＞y₂，
即×3²+3-＞，解得k＜18．
所以k的取值范围为5＜k＜18．
分析：（Ⅰ）直接利用待定系数法求函数的解析式即可．
（Ⅱ）首先将x=a、b代入抛物线的解析式中，联立所得的两个方程即可求出a+b的值；再将x=a+b代入（Ⅰ）的抛物线解析式中即可求出此时的函数值．
（Ⅲ）首先大致画出y₁、y₂的函数图象，大致判断出2＜x₀＜3中，两函数的增减性；然后根据x₀=2或3时，两函数值的大小关系列出不等式组，由此求得k的取值范围．
点评：该题主要考查的是函数解析式的确定以及不等式的应用．最后一题中，通过图示找出与题相关的不等式是突破题目的关键，因此在平常的解题过程中，要注意数形结合思想的合理运用．