Question

12、设n是正整数，d₁＜d₂＜d₃＜d₄是n的四个最小的正整数约数，若n=d₁²+d₂²+d₃²+d₄²，求n的值．

Answer 1

分析：分情况讨论可知n为偶数，故d₁=1．d₂=2．通过证明可知n不是4的倍数．设d₃=a（a为奇数），则d必为偶数，故d₄=2a．则n=1²+2²+a²+（2a）²=5（a²+1），可见n是5的倍数，从而求出d₃=5，d₄=10，代入即可求得
n的值．

解答：解：若n为奇数，则d₁，d₂，d₃，d₄全为奇数，则d₁²+d₂²+d₃²+d₄²为偶数，与n为奇数矛盾，
故n为偶数，故d₁=1．d₂=2．
若n为4的倍数，则d₃，d₄必有一个为4，而n为偶数，
则另一个为奇数，d₁²+d₂²+d₃²+d₄²除以4的余数为2与题意不符，故n不是4的倍数．
设d₃=a（a为奇数），则d必为偶数，故d₄=2a．
则n=1²+2²+a²+（2a）²=5（a²+1），可见n是5的倍数，
故d₃=5，d₄=10，n=130．
故n的值为130．

点评：本题考查了最大公约数与最小公倍数，解题的关键是采用分类思想求出d₁，d₂，d₃，d₄的值，有一点的难度．