Question

（1）观察一列数a₁=3，a₂=9，a₃=27，a₄=81，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是

3

；根据此规律，如果a_n（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么a₆=

3⁶

，a_n=

3ⁿ

；（可用幂的形式表示）
（2）如果想要求1+2+2²+2³+…+2⁹的值，可令S₁₀=1+2+2²+2³+…+2⁹①将①式两边同乘以2，得

2S₁₀=2+2²+2³+…+2⁹+2¹⁰

②，由②减去①式，得S₁₀=

2¹⁰-1

．
（3）若（1）中数列共有30项，设S₃₀=3+9+27+81+…+a₃₀，请利用上述规律和方法计算S₃₀的值．
（4）设一列数1，2，4，8，…，2^n-1的和为S_n，则S_n的值为

2ⁿ-1

．

Answer 1

分析：（1）观察不难发现，后一个数是前一个数的3倍，然后解答即可；
（2）根据运算过程计算即可得解；
（3）根据（2）的方法，等式两边都乘以3，然后相减进行计算即可得解；
（4）把所列等式两边都乘以2，然后相减即可得解．

解答：解：（1）∵9÷3=3，27÷9=3，81÷27=3，
∴这个常数是3，
∵a₁=3=3¹，a₂=9=3²，a₃=27=3³，a₄=81=3⁴，…，
∴a₆=3⁶，a_n=3ⁿ；

（2）∵S₁₀=1+2+2²+2³+…+2⁹，①
∴①式两边同乘以2得，2S₁₀=2+2²+2³+…+2¹⁰，②
②-①得，S₁₀=2¹⁰-1；

（3）∵S₃₀=3+9+27+81+…+3³⁰，①
∴3S₃₀=9+27+81+…+3³¹，②
②-①得，2S₃₀=3³¹-3，
∴S₃₀=

1

2

（3³¹-3）=

331-3

2

；

（4）∵S_n=1+2+4+8+…+2^n-1的和为S_n，
∴2S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ，
∴S_n=2S_n-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-（1+2+4+8+…+2^n-1）
=2ⁿ-1，
故答案为：（1）3，3⁶，3ⁿ；（2）2S₁₀=2+2²+2³+…+2¹⁰+2¹¹，2¹¹-1；（4）2ⁿ-1．

点评：此题主要考查了数字变化规律，读懂题目信息并理解数列和的求解求解思路是解题的关键．