Question

已知直线y=x-4与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=-x²+ax+b经过点A，B．
（1）求a，b的值；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？
（3）若抛物线与x轴的另一个交点为C，求△ABC的面积．

Answer 1

解：（1）令x=0，得到y=-4，则函数与y轴交点为B（0，-4），
令y=0，得到x=4，则函数与y轴交点为A（4，0），
将A（4，0），B（0，-4）分别代入抛物线y=-x²+ax+b得，
，
解得，
则函数解析式y=-x²+5x-4．

（2）∵二次函数的对称轴为x=-=，
又∵y=-x²+5x-4的开口方向向下，
∴x＜时，y随x的增大而增大．

（3）令-x²+5x-4=0，
解得（x-1）（x-4）=0，
x₁=1，x₂=4．
可得函数与x轴的交点坐标C（1，0），A（4，0），
S_△ABC=×（4-1）×4=6．
分析：（1）分别令x=0、y=0求出与x轴、y轴的交点坐标，再将交点坐标代入抛物线y=-x²+ax+b，得到关于a、b的方程组即可求出函数解析式；
（2）由于二次函数开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而减小．
（3）令y=0，将二次函数转化为关于x的一元二次方程，求出函数与x轴的另一个交点，利用三角形面积公式即可求出三角形的面积．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积公式，综合性较强．