Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P（1，-2），且经过点A（-3，6），并与x轴交于点B和C．

（1）求这个二次函数的解析式，并求出点C坐标及∠ACB的大小；
（2）设D为线段OC上一点，满足∠DPC=∠BAC，求D的坐标；
（3）在x轴上，是否存在点M，使得以M为圆心的圆能与直线AC、直线PC及y轴都相切？如果存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵顶点为P（1，-2），
∴设二次函数顶点式解析式为y=a（x-1）²-2，
把点A（-3，6）代入得，a（-3-1）²-2=6，
解得a=，
所以，二次函数解析式为y=（x-1）²-2=x²-x-，
即y=x²-x-；
令y=0，则x²-x-=0，
整理得，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点C坐标为（3，0）；
∵A（-3，6），C（3，0），
∴tan∠ACB==1，
∴∠ACB=45°；

（2）∵点P（1，-2），C（3，0），
∴tan∠PCD==1，
∴∠PCD=45°，
∴∠PCD=∠ACB，
又∵∠DPC=∠BAC，
∴△DPC∽△BAC，
∴=，
∵AC==6，PC==2，BC=3-（-1）=4，
∴=，
解得DC=，
∴OD=OC-DC=3-=，
∴点D的坐标为（，0）；

（3）如图，①点M在线段OC上时，设AC切⊙O于H₁，连接MH₁，
∵⊙M与直线AC相切，
∴MH₁⊥AC，
∵∠ACB=45°，
∴OC=OM+CM=OM+OM=3，
解得OM==3-3；
此时，点M（3-3，0）；
②点M在射线OB上时，设AC切⊙O于H₂，连接MH₂，
∵⊙M与直线AC相切，
∴MH₂⊥AC，
∵∠ACB=45°，
∴OC=CM-OM=OM-OM=3，
解得OM==3+3．
此时，点M（-3-3，0）．
分析：（1）设二次函数顶点式解析式为y=a（x-1）²-2，然后把点A的坐标代入求出a的值，即可得解，令y=0，解方程求出点B、C的坐标，然后求出∠ACB=45°；
（2）先求出∠PCD=45°，再利用勾股定理列式求出AC、PC，然后根据两组角对应相等两三角形相似判断出△DPC和△BAC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出DC，再求出OD，即可得到点D的坐标；
（3）分①点M在线段OC上时，设AC切⊙O于H₁，连接MH₁，根据切线的定义可得MH₁⊥AC，从而然后根据等腰直角三角形的性质用OM表示出OC，求解即可；
②点M在射线OB上时，设AC切⊙O于H₂，连接MH₂，根据切线的定义可得MH₂⊥AC，从而然后根据等腰直角三角形的性质用OM表示出OC，求解即可．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，圆的切线的定义，（1）利用二次函数的顶点式形式求解更加简便，（3）难点在于分情况讨论．