Question

如图，已知△ABC与△CDE都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，AD与BE相交于点G，BE与AC相交于点F，AD与CE相交于点H，则下列结论：①△ACD≌△BCE；②∠AGB=60°；③BF=AH；④△CFH是等边三角形；⑤连CG，则∠BGC=∠DGC．其中正确的个数是(     )

A．2       B．3       C．4       D．5

Answer 1

D

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．

【分析】利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH，进而得出△BCF≌△ACH因此BF=AH．由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．连接CG，根据∠AGB=∠ACB=60°，∠CBG=∠CAG，推出点A，B，C，G四点共圆，根据圆周角定理得到∠BGC=∠BAC=60°，由圆内接四边形的性质得到∠CGD=∠ABC=60°，于是得到∠BGC=∠DGC．

【解答】解：∵∠BCA=∠DCE=60°，

∴∠BCE=∠ACD，

在△BCE和△ACD中，

，

∴△BCE≌△ACD（SAS）；故①正确；

∵△BCE≌△ACD，

∴∠CBF=∠CAH．

∵∠BFC=∠AFG，

∴∠AGB=∠ACB=60°，故②正确；

在△BCF和△ACH中，

，

∴△BCF≌△ACH（ASA），

∴CF=CH，BF=AH；故③正确；

∵CF=CH，∠ACH=60°，

∴△CFH是等边三角形；故④正确；

连接CG，

∵∠AGB=∠ACB=60°，∠CBG=∠CAG，

∴点A，B，C，G四点共圆，

∴∠BGC=∠BAC=60°，

∵∠CGD=∠ABC=60°，

∴∠BGC=∠DGC，故⑤正确．

故选D．

【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．