Question

如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB=AC=10 ，BC=12 ，P 是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．
（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；
（2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．

Answer 1

解：（1 ）当点P 是的中点时，DP是⊙O的切线．理由如下：
∵AB=AC，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴PA是⊙O的直径，
∵=，
∴∠1=∠2，又AB=AC，
∴PA⊥BC，
又∵DP∥BC，
∴DP⊥PA，
∴DP是⊙O的切线．
（2 ）连接OB ，设PA 交BC 于点E ． 由垂径定理，得BE=BC=6 ，
在Rt △ABE 中，由勾股定理，得：AE===8，
设⊙O的半径为r，则OE=8-r，
在Rt△OBE中，由勾股定理，得：r²=6²+（8﹣r）²，解得r=，
∵DP∥BC，
∴∠ABE=∠D，
又∵∠1=∠1，
∴△ABE∽△ADP，
∴=，即=，
解得：DP=．