Question

如图，正方形ABCD中，∠EDF=45°，且∠EDF的两边分别与AB，BC交于E，F．试探究AE，EF，CF三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

解：EF=AE+FC．
理由：如图所示：延长BA至G，使AG=CF，连接DG，
∵在△ADG和△CDF中，

∴△ADG≌△CDF（SAS），
∴DG=DF，∠ADG=∠CDF，
又∵∠EDF=45°，∠ADC=90°，
∴∠DAE+∠CDF=∠ADG+∠DAE=∠GDE=45°，
∴∠GDE=∠EDF，
在△DGE和△DFE中，
，
∴△DGE≌△DFE（SAS），
∴GE=EF，
又∵AG=CF，
∴EF=AE+FC．
分析：延长BA至G，使AG=CF，连接DG，利用旋转法证明△ADG≌△CDF，然后证明△DGE≌△DFE再根据全等三角形的性质可得EF=AE+FC．
点评：本题考查了旋转的性质，正确找出图形中相等的角以及相等的线段，正确作出辅助线是关键．