练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    （2008•奉贤区二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC=10，点B到AC的距离为4，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角边于H；过F作FG⊥AC交CD边于G，连接HG．
    （1）求∠ACB的正切值；
    （2）设HE、EF、FG、GH围成的图形面积为S，若点E的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
    （3）当t取何值时，以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切？
    分析：（1）过点B作BM⊥AC于点M，根据两角对应相等的两三角形相似得出△AMB∽△BMC，由相似三角形对应边成比例得出BM：MC=AM：BM，即BM2=AM•MC，设MC=x，列出方程，解方程求出x的值，根据三角函数的定义即可求出∠ACB的正切值；
    （2）分三种情况讨论：①点H在直角边AD上；②点H在直角边CD上，且H在G的左边；③点H在直角边CD上，且H在G的右边．先用含t的代数式分别表示HE，GF，EF，再利用梯形的面积公式S=
    1
    2
    （GF+HE）•EF，即可求解；
    （3）以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切时，根据两圆外切时圆心距等于两圆半径之和，得出EH+FG=EF．再分三种情况讨论：①点H在直角边AD上；②点H在直角边CD上，且H在G的左边；③点H在直角边CD上，且H在G的右边．先用含t的代数式分别表示HE，GF，EF，再根据EH+FG=EF列出方程，解方程即可．
    解答：解：（1）过点B作BM⊥AC于点M，则BM=4，
    由题意可得，∠ACB=∠ABM=90°-∠CBM，
    又∵∠AMB=∠BMC=90°，
    ∴△AMB∽△BMC，
    ∴BM：MC=AM：BM，即BM2=AM•MC，
    设MC=x，则AM=10-x，
    ∴42=x（10-x），
    解得x=2或x=8（不合题意，舍去）．
    ∴tan∠ACB=
    BM
    MC
    =
    4
    2
    =2；

    （2）①当点H在直角边AD上时，如原题图．
    由题意知，AE=CF=t，EF=10-2t，
    在Rt△AHE中，tan∠DAC=tan∠ACB=
    HE
    EA
    =2，
    ∴HE=2t，同理 GF=
    1
    2
    t，
    ∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=
    1
    2
    （
    1
    2
    t+2t）（10-2t）=-
    5
    2
    t2+
    25
    2
    t，
    即S=-
    5
    2
    t2+
    25
    2
    t（0＜t≤2）；
    ②当点H在直角边CD上，且H在G的左边时，如备用图1．
    由题意得，AE=CF=t，EF=10-2t，EC=10-t，HE=
    1
    2
    （10-t），GF=
    1
    2
    t，
    ∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=
    1
    2
    [
    1
    2
    （10-t）+
    1
    2
    t]（10-2t）=25-5t，
    即S=25-5t（2＜t＜5）；
    ③当点H在直角边CD上，且H在G的右边时，如备用图2．
    由题意得，AE=CF=t，EF=2t-10，EC=10-t，HE=
    1
    2
    （10-t），GF=
    1
    2
    t，
    ∴由HE、EF、FG、GH围成的图形面积S=
    1
    2
    [
    1
    2
    （10-t）+
    1
    2
    t]（2t-10）=5t-25，
    即 S=5t-25（5＜t≤8）；

    （3）设以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切，
    那么应满足EH+FG=EF．
    ①当点H在直角边AD上时，
    ∵HE=2t，GF=
    1
    2
    t，EF=10-2t，
    ∴2t+
    1
    2
    t=10-2t，解得t=
    20
    9
    ．
    ∵0＜t≤2，∴t=
    20
    9
    不合题意，舍去；
    ②当点H在直角边CD上，且H在G左边时，
    ∵HE=
    1
    2
    （10-t），GF=
    1
    2
    t，EF=10-2t，
    ∴
    1
    2
    （10-t）+
    1
    2
    t=10-2t，
    解得t=
    5
    2
    ，符合题意；
    ③当点H在直角边AD上，且H在G右边时，
    ∵HE=
    1
    2
    （10-t），GF=
    1
    2
    t，EF=2t-10，
    ∴
    1
    2
    （10-t）+
    1
    2
    t=2t-10，
    解得t=
    15
    2
    ，符合题意；
    综上，可知当t=
    5
    2
    或
    15
    2
    时，以E为圆心，EH为半径的圆E，与以F为圆心，FG为半径的圆F外切．
    点评：本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，梯形的面积，圆与圆的位置关系，综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2008•奉贤区二模）学校把学生学科的期中、期末两次成绩分别按40%、60%的比例计入学期学科总成绩．小明期中数学成绩是85分，期末数学总成绩是90分，那么他的学期数学成绩（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2008•奉贤区二模）下列运算正确的是 （　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2008•奉贤区二模）在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是 （　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2008•奉贤区二模）在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，且AB=8，两个圆的半径相差2，那么大圆的直径为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2008•奉贤区二模）写出一个图象经过点（1，-2）的函数的表达式：
    y=-2x（答案不唯一）
    y=-2x（答案不唯一）
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案