Question

如图，AB=3AC，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BC交AD于点E，CF∥BD．
（1）求证：△ACG≌△AFG
（2）求的值；
（3）求的值；
（4）判断AE和DE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵DA平分∠BAC，
∴∠FAG=∠CAG，
∵BD⊥AD，CF∥BD，
∴CF⊥AD，
∴∠AGF=∠AGC=90°，
在△AFG和△ACG中，
∵∠FAG=∠CAG，AG=AG，∠AGF=∠AGC，
∴△AFG≌△ACG．

（2）解：∵△AFG≌△ACG，
∴AC=AF，CG=FG．
∵CF∥BD，
∴△AFG∽△ABD，
∴；

（3）解：∵CF∥BD，
∴△ECG∽△EBD，
∴；

（4）解：AE=DE．
理由：设EG=x，则ED=3x．
．
解得 AG=2x．
∴AE=3x=DE．
分析：（1）根据ASA证明△ACG≌△AFG；
（2）根据CF∥BD可证△AFG∽△ABD，运用相似三角形性质求解；
（3）可证△ECG∽△EBD，得EG：ED=CG：BD=FG：BD；
（4）综合运用上面结论可判定AE=DE．
点评：此题考查相似（包括全等）三角形的判定和性质，综合性较强，难度较大．