Question

如图，已知抛物线y₁=-2x²+2，直线y₂=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M；若y₁=y₂，记M=y₁=y₂．例如：当x=1时，y₁=0，y₂=4，y₁＜y₂，此时M=0．下列判断：
①当x＜0时，y₁＞y₂；　
②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在；
④使得M=1的x值是-或．
其中正确的是________．

Answer 1

③④
分析：若y₁=y₂，记M=y₁=y₂．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＜-1时，利用函数图象可以得出y₂＞y₁；当-1＜x＜0时，y₁＞y₂；当x＞0时，利用函数图象可以得出y₂＞y₁；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M；即可求得答案．
解答：∵当y₁=y₂时，即-2x²+2=2x+2时，
解得：x=0或x=-1，
∴当x＜-1时，利用函数图象可以得出y₂＞y₁；当-1＜x＜0时，y₁＞y₂；当x＞0时，利用函数图象可以得出y₂＞y₁；
∴①错误；
∵抛物线y₁=-2x²+2，直线y₂=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y₁、y₂．若y₁≠y₂，取y₁、y₂中的较小值记为M；
∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；
∴②错误；
∵抛物线y₁=-2x²+2，直线y₂=2x+2，与y轴交点坐标为：（0，2），当x=0时，M=2，抛物线y₁=-2x²+2，最大值为2，故M大于2的x值不存在；
∴使得M大于2的x值不存在，
∴③正确；
∵如图：当-1＜x＜0时，y₁＞y₂；
∴使得M=1时，y₂=2x+2=1，解得：x=-；
当x＞0时，y₂＞y₁，
使得M=1时，即y₁=-2x²+2=1，解得：x₁=，x₂=-（舍去），
∴使得M=1的x值是-或．
∴④正确；
故答案为：③④．
点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．