Question

如图1，已知直线y=

2

5

x+2与x轴交于点A，交y轴于C、抛物线y=ax²+4ax+b经过A、C两点，抛物线交x轴于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点Q在抛物线上，且有△AQC和△BQC面积相等，求点Q的坐标；
（3）如图2，点P为△AOC外接圆上

ACO

的中点，直线PC交x轴于D，∠EDF=∠ACO．当∠EDF绕D旋转时，DE交AC于M，DF交y轴负半轴于N、问CN-CM的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．

Answer 1

分析：（1）根据直线AC的解析式可求得A、C的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）此题应分作两种情况考虑：
①当Q点在AC段的抛物线图象上时，由于△BCQ、△ACQ等底，若它们的面积相等，那么它们的CQ边上的高必相等，即CQ∥AB，根据抛物线的对称轴和点C的坐标即可得到点Q的坐标；
②当Q在AC段以为的抛物线图象上时，设直线CQ与x轴的交点为R，那么△ACQ、△BCQ的面积分别可表示为：

1

2

AR•|y_C-y_Q|和

1

2

BR•|y_C-y_Q|，因此两个三角形可看作是等高的三角形，因此“底边”AR=BR，即R是AB的中点，易得R的坐标，可求出直线CR的解析式，联立抛物线的解析式，即可求得点Q的坐标．
（3）过点D作∠NDR=∠PDE，交y轴于R，那么∠RDC=∠NDM=∠ACO；由于P是△AOC外接圆⊙S上

ACO

的中点，根据垂径定理可知，SR所在直线必平行于y轴，那么∠PSC=∠ACO=∠RDC，易证得∠SPC=∠DCR，那么△SPC∽△DCR，由于△PSC是等腰三角形，那么△DCR也是等腰三角形，即CD=DR，易证得∠CMD=∠RND，则可证得△DCM≌△DRN，可得CM=RN，即CN-CM=CR=2OC，由此得解．

解答：解：（1）由直线AC的解析式可得：A（-5，0），C（0，2）；
代入抛物线的解析式中可得：

25a-20a+b=0 b=2

，
解得

a=- 2 5 b=2

；
故抛物线的解析式为：y=-

2

5

x²-

8

5

x+2．

（2）易知B（1，0）；
①当Q在AC段的抛物线上时，
△ACQ和△BCQ同底，若它们的面积相等，则A、B到直线CQ得距离相等，即CQ∥AB；
由于抛物线的对称轴为x=-2，
故Q（-4，2）；
②当Q在线段AC外的直线上时，
△ACQ的面积为：

1

2

AL•|y_C-y_Q|，
△BCQ的面积为：

1

2

BL•|y_C-y_Q|，
若两个三角形的面积相等，
那么AL=BL，
即L是线段AB的中点，即L（-2，0）；
易知直线CL的解析式为：y=x+2，联立抛物线的解析式得：

y=- 2 5 x2- 8 5 x+2 y=x+2

，
解得

x=0 y=2

，

x=- 13 2 y=- 9 2

；
故Q（-

13

2

，-

9

2

）；
综上所述，存在两个符合条件的点Q，且坐标为：Q（-4，2）或（-

13

2

，-

9

2

）．

（3）如图，设△AOC的外接圆圆心为S；
作∠NDR=∠PDE，交y轴于R；
则∠PDR=∠MDN=∠ACO；
由于P点是

ACO

的中点，由垂径定理知SP必平行于y轴，得：
∠PSC=∠ACO=∠CDR，∠SPC=∠RCD；
则△SCP∽△DCR，
所以△CDR也是等腰三角形；
即CD=DR，OC=OR；
∵∠PCS=∠DRC，
∴∠DCM=∠DRN，
又∵∠CDM=∠NDR，CD=DR，
∴△DCM≌△DRN，
得CM=RN，
故CN-CM=CR=2OC；
所以CN-CM的值不变，恒为2OC，即4．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象交点坐标的求法、全等三角形的判定和性质等重要知识点；（2）题中，由于点Q的位置不确定，所以一定要将问题考虑全面，不要漏解；（3）题中，能够正确的构建出全等三角形是解决问题的关键，此题涉及的知识点较多，难度很大．