Question

2．已知，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过原点，顶点为A（s，t）（s≠0）．
（1）当s=2时，t=1时，求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）若（1）中的抛物线与x轴交于点B，过B作OA的平行线交抛物线于点D，求△BDO三条高的和；
（3）当点A在抛物线y=x²-x上，且-1≤s＜2时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知A（2，1），设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+1，由于抛物线过原点，所以将（0，0）代入即可求出a的值．
（2）根据A（2，1）可求出OA的直线解析式，由于DB∥OA，所以一次项系数必定相等，从而可求出直线BD的解析式，联立直线BD与抛物线的解析式即可求出D的坐标，然后根据勾股定理分别求出OD、BD的长度，再求出△BOD的面积即可求出△BDO三条高的和．
（3）t=s²-s，由于A（s，t）是y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点，所以y=a（x-s）²+t，将（0，0）代入该式后可得s=（a+1）s²，利用s的范围即可求出a的范围．

解答 解：（1）由题意可知A（2，1），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+1，
由于抛物线过原点，
∴将（0，0）代入y=a（x-2）²+1，
∴解得a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，

（2）令y=0代入y=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1，
∴解得x=4或x=0，
∴B（4，0）
设直线OA的解析式为：y=kx，
将A（2，1）代入y=kx，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∵BD∥OA，
∴设直线BD的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+m，
将B（4，0）代入y=$\frac{1}{2}$x+m，
∴m=-2
∴直线BD的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-2
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-2}\\{y=-\frac{1}{4}（x-2）^{2}+1}\end{array}\right.$
解得：x=4或x=-2
∴D（-2，-3）
∴由勾股定理可知：OD=$\sqrt{13}$，BD=3$\sqrt{5}$，
设OB、OD、BD边上的高分别为h₁，h₂，h₃，
∴h₁=3
又∵OB=4，
∴S_△BDO=$\frac{1}{2}$OB•h₁=6，
∴$\frac{1}{2}$BD•h₃=$\frac{1}{2}$OD•h₂=6，
∴h₂=$\frac{12\sqrt{13}}{13}$，h₃=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴△BDO三条高的和h₁+h₂+h₃=3+$\frac{12\sqrt{13}}{13}$+$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，

（3）由题意可知：t=s²-s，
∵A（s，t）是y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点，
∴y=a（x-s）²+t，
又因为该抛物线经过原点，
∴0=as²+t，
∴0=as²+s²-s，
∴s=（a+1）s²，
当s=0时，
此时，a全体实数，
当s≠0时，此时-1≤s＜0或0＜s＜2，
∴a=$\frac{1}{s}-1$，
∴a≤-2或a＞-$\frac{1}{2}$，
综上所述，a≤-2或a＞-$\frac{1}{2}$，

点评 本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，综合运用了待定系数法，解方程组等知识，综合程度较高，本题属于难题．