Question

18．如图，PA、PB分别切⊙0于A、B两点，求证：∠APB=2∠BAO．

Answer 1

分析 如图所示，连接OP、OB．由切线长定理可知PA=PB，从而可证明△APO≌△BPO，于是得到$∠APO=\frac{1}{2}∠APB$，然后证明OP是AB的垂直平分线，由∠AOP+∠BAO=90°，∠APO+∠POA=90°可得到∠APO=∠BAO，故此∠APB=2∠BAO．

解答 证明：如图所示，连接OP、OB．

∵PA、PB分别切⊙0于A、B两点，
∴PA=PB，OA⊥PA．
在△APO和△BPO中$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{OA=OB}\\{PO=PO}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△BPO．
∴∠APO=∠BPO．
∴$∠APO=\frac{1}{2}∠APB$．
∵PA=PB，OA=OB，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴∠AOP+∠BAO=90°．
又∵∠APO+∠POA=90°，
∴∠APO=∠BAO．
∴∠APB=2∠BAO．

点评 本题主要考查的是切线的性质、切线长定理、线段垂直平分线的判定，证得∠APO=∠BAO是解题的关键．