Question

（2012•雅安）已知⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，点E在CD上，且AE=CE．
（1）求证：CA²=CE•CD；
（2）已知CA=5，EA=3，求sin∠EAF．

Answer 1

分析：（1）由⊙O的弦CD与直径AB垂直于F，根据垂径定理，易证得∠C=∠D，又由AE=CE，根据等边对等角，可得∠C=∠CAE，即可得∠CAE=∠D，又由∠C是公共角，即可证得△CEA∽△CAD，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（2）由CA²=CE•CD；CA=5，EA=3，可求得CD的长，然后由垂径定理，求得CF的长，继而求得EF的长，然后由正弦函数的定义，求得答案．

解答：（1）证明：在△CEA和△CAD中，
∵弦CD⊥直径AB，
∴

AC

=

AD

，
∴∠D=∠C，
又∵AE=EC，
∴∠CAE=∠C，
∴∠CAE=∠D，
∵∠C是公共角，
∴△CEA∽△CAD，
∴

CA

CD

=

CE

CA

，
即CA²=CE•CD；

（2）解：∵CA²=CE•CD，AC=5，EC=3，
∴5²=CD•3，
解得：CD=

25

3

，
又∵CF=FD，
∴CF=

1

2

CD=

1

2

×

25

3

=

25

6

，
∴EF=CF-CE=

25

6

-3=

7

6

，
在Rt△AFE中，sin∠EAF=

EF

AE

=

7 6

3

=

7

18

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．