Question

如图，点A、B为直线y=x上的两点，过A、B两点分别作y轴的平行线交双曲线y=

1

x

（x＞0）于点C、D两点．若BD=2AC，则4OC²-0D²的值为（　　）

A．5

B．6

C．7

D．8

Answer 1

分析：延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F．设A、B的横坐标分别是a，b，点A、B为直线y=x上的两点，A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE=OE=a，BF=OF=b．根据BD=2AC即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解．

解答：解：延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F．
设A、B的横坐标分别是a，b，
∵点A、B为直线y=x上的两点，
∴A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE=OE=a，BF=OF=b．
∵C、D两点在交双曲线y=

1

x

（x＞0）上，则CE=

1

a

，DF=

1

b

．
∴BD=BF-DF=b-

1

b

，AC=a-

1

a

．
又∵BD=2AC
∴b-

1

b

=2（a-

1

a

），
两边平方得：b²+

1

b2

-2=4（a²+

1

a2

-2），即b²+

1

b2

=4（a²+

1

a2

）-6．
在直角△OCE中，OC²=OE²+CE²=a²+

1

a2

，同理OD²=b²+

1

b2

，
∴4OC²-0D²=4（a²+

1

a2

）-（b²+

1

b2

）=6．
故选B．

点评：本题考查了反比例函数与勾股定理的综合应用，正确利用BD=2AC得到a，b的关系是关键．