Question

如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；
（3）在抛物线的对称轴上一点C，在抛物线上是否存在点P，使以O、B、P、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+1，
∵抛物线过原点，
∴a（0-2）²+1=0，
a=-；
∴抛物线的解析式为y=-（x-2）²+1=-x²+x；

（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，且S_△MOB=3S_△AOB，
∴△MOB的高是△AOB高的3倍，即M点的纵坐标是-3，
∴-3=-x²+x，
即x²-4x-12=0，
解得x₁=6，x₂=-2；
∴满足条件的点有两个：M₁=（6，-3），M₂=（-2，-3）；

（3）存在；
由OB=CP=4，P的横坐标为6或-2，代入抛物线解析式得y=-x²+x=-3，
P（6，-3）或（-2，-3），
当点C与点A重合时，点A关于x轴的对称点P（2，-1）也为所求，
因此存在，点P的坐标为P₁（6，-3），P₂（-2，-3），P₃（2，-1）．
分析：（1）设出抛物线的顶点式，代入原点坐标即可求出答案；
（2）由△AOB和所求△MOB同底不等高，得出△MOB的高是△AOB高的3倍，可知抛物线上点M的纵坐标，因此建立方程解答即可；
（3）由平行四边形的判定，对边平行且相等，进一步利用对称性即可解答．
点评：此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，三角形的面积以及平行四边形判定的运用，是一道综合性很强的题目．