Question

4．如图，已知四边形AECF是平行四边形，点B，D在对角线EF上，且BE=DF，用向量的加法证明：四边形ABCD是平行四边形．

Answer 1

分析 根据向量的三角形法则表示出$\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{DF}$，然后整理可得$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{AF}$，再根据平行四边形法则证明．

解答 证明：由三角形法则得，$\overrightarrow{EB}$=$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AE}$，
$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{AD}$，
∵点B，D在对角线EF上，且BE=DF，
∴$\overrightarrow{EB}$=$\overrightarrow{DF}$，
∴$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{AF}$，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$，
∴四边形ABCD是平行四边形．

点评 本题考查了平面向量，平行四边形的判定与性质，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则和三角形法则是解题的关键．