Question

2．如图，Rt△ABC中，∠ABC为直角，以AB为直径作⊙O交AC于点D，点E为BC中点，连结DE，DB
（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若∠C=30°，求∠BOD的度数；
（3）在（2）的条件下，若⊙O半径为2，求阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明DE与⊙O相切，只要证明∠ODE=90°即可．
（2）在四边形OBED中，利用四边形内角和求∠BOD即可．
（3）根据S_阴影部分=S_{四边形OBED}-S_扇形OBD=S_△OBE+S_△ODE-S_扇形OBD计算即可．

解答 解：（1）连结OD，
∵AB为⊙O为直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
又∵E是斜边BC的中点
∴DE=BE=CE，
∴∠BDE=∠DBE，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD
∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=∠OBD+∠DBE=∠ABC=90°
即DE与⊙O相切．
（也可以通过证明△OBE≌△ODE得到∠ODE=∠OBE=90°）

（2）若∠C=30°而DE=CE，
∴∠DEB=60°
在四边形OBED中，则∠BOD=360°-90°-90°-60°=120°，

（3）连结OE，则∠OED=∠OEB=30°
∵OD=OB=2∴DE=BE=2$\sqrt{3}$
∴S_阴影部分=S_{四边形OBED}-S_扇形OBD=S_△OBE+S_△ODE-S_扇形OBD
=2$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$-$\frac{120π×22}{360}$=4$\sqrt{3}$-$\frac{4π}{3}$．

点评 本题考查切线的判定、扇形的面积公式、四边形的内角和等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．