Question

9．如图，在△ABC中BC=10，S_△ABC=30，矩形DEFG内节接于△ABC，设DE的长为x，（1）写出矩形DEFG面积y与x的函数关系式及定义域；
（2）求△ABC内接正方形的面积．

Answer 1

分析 （1）过点A作AH⊥BC于点H，交DG于点K，根据在△ABC中，BC=10，S_△ABC=30可得出AG的长，由DE=x，S_矩形DEFG=y可知DG=$\frac{y}{x}$，再根据DG∥BC可得出△ADG∽△ABC，由此可得出结论；
（2）根据（1）中y与x的关系式得出DG的长，由正方形的边长相等即可得出结论．

解答 解（1）点A作AH⊥BC于点H，交DG于点K，
∵△ABC中BC=10，S_△ABC=30，
∴30=$\frac{1}{2}$×10×AH，
解得AH=6．
∵DE=x，S_矩形DEFG=y，
∴DG=$\frac{y}{x}$，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴$\frac{AK}{AH}$=$\frac{DG}{BC}$，即$\frac{AK}{6}=\frac{\frac{y}{x}}{10}$，
解得AK=$\frac{3y}{5x}$，
∴KH=6-$\frac{3y}{5x}$，
∴x=6-$\frac{3y}{5x}$，整理得y=10x-$\frac{5}{3}$x²（0＜x＜6）；

（2）由（1）知y=10x-$\frac{5}{3}$x²=x[10-$\frac{5}{3}$x]，
∵矩形DEFG的边长DE=x，
∴边DE的邻边DG=10-$\frac{5}{3}$x
∵当矩形DEFG为正方形时，x=10-$\frac{5}{3}$x，
解得x=$\frac{15}{4}$，
∴当x=$\frac{15}{4}$时，四边形DEFG为正方形，
∴S_{正方形DEFG}=x²=（$\frac{15}{4}$）²=$\frac{225}{16}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．