Question

如图，在平面直角坐标系中，A为（8，0），B是线段OA上的一点，点C在第一象限，CB⊥OA于点B，且CB=5，D为CB上一点，BD=2，设OB=a，经过点D的双曲线y=

k

x

交线段AD、OC于点E，F，当E为AD中点时，求点F的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：根据A坐标，CB垂直于OA，且CB，BD，以及OB，表示出B，C，D坐标，根据E为AD中点，利用线段中点坐标公式表示出E坐标，由D、E在反比例函数图象上，将D、E坐标代入反比例解析式分别表示出k，消去k得到关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出C坐标，得出反比例解析式，进而确定出直线OC解析式，两解析式联立消去y求出x的值，进而求出y的值，即为F坐标．

解答：解：∵A（8，0），CB⊥OA，CB=5，BD=2，OB=a，
∴B（a，0），C（a，5），D（a，2），
∵E为AD的中点，
∴E（

8+a

2

，1），
∵D、E在双曲线y=

k

x

上，
∴将D坐标代入双曲线解析式得：2=

k

a

，即k=2a，
将E坐标代入双曲线解析式得：1=

k

8+a 2

，即k=

8+a

2

，
∴2a=

8+a

2

，
解得：a=

8

3

，
∴k=2a=

16

3

，
∴C（

8

3

，5），
∴双曲线解析式为y=

16

3x

①，
设直线OC解析式为y=mx，
将C坐标代入得：5=

8

3

m，即m=

15

8

，
∴直线OC解析式为y=

15

8

x②，
联立①②，消去y得：

16

3x

=

15

8

x，即x²=

128

45

，
解得：x₁=

8 10

15

，x₂=-

8 10

15

（C在第一象限，故舍去），
∴y=

15

8

×

8 10

15

=

10

，
则F坐标为（

8 10

15

，

10

）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，坐标与图形性质，线段中点坐标公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．