Question

金秋十月，某果树种植基地种植的柑橘喜获丰收，第一天销售量就为1650千克，第二天销售量为1750千克，且销售量p（千克）与天数x（天）（1≤x≤7且x为整数）满足一次函数关系．而市场价格q（元/千克）与天数x（天）之间满足q=-0.2x+5（1≤x≤7且x为整数）．
（1）求销售量p（千克）与天数x（天）（1≤x≤7且x为整数）之间的函数关系式；
（2）第几天的销售额最大？并求这个最大值及当天价格和销售量；
（3）由于同类产品的大量上市，销售第二周平均每天的价格在（2）中价格的基础上下降了8a%（q＜a＜10），平均每天的销售量在（2）中销售量的基础上上涨了5a%．同时，根据市场需求，该果园基地在第二周还将4100千克的柑橘深加工，将橘子果肉与冰糖水等按4：6的比例制成橘子罐头，并按每瓶500克的方式装瓶出售（制作过程中的损耗忽略不计），已知平均每千克的橘子含0.6千克的果肉．每瓶橘子罐头的成本为3.5元，按比成本价高20a%的售价出售，该基地第二周将这批橘子罐头全部售出，第二周该果园基地销售总额共计143500元，请你参考以下数据，估算出a的整数值．（，，）

Answer 1

解：（1）设p=kx+b（k≠0）由题得：
，
解得：，
∴p=100x+1550；

（2）设日销售额为W元，则
W=pq=（100x+1550）（-0.2x+5）=-20x²+190x+7750，
∵-20＜0，
∴当x=-==4.75时，W最大，
但x为整数，
∴当x=5时，W_最大=8200，
此时q=-0.2×5+5=4，p=100×5+1550=2050，
∴第5天的销售额最大，最大值为8200元，当天价格为4元/千克，销售量2050千克；

（3）由题意，一瓶橘子罐头含果肉500×÷1000=0.2（千克），
则 7×4（1-8a%）×2050（1+5a%）+×3.5（1+20a%）=143500，
设a%=t，则原方程整理变为：160t²-48t+3=0，
解得：t=，
则t₁≈0.09，t₂≈0.21，
∴a₁≈9，a₂≈21＞10（舍去）．
∴a的整数值为9．
分析：（1）设p=kx+b，根据第一天销售量就为1650千克，第二天销售量为1750千克，可求出价格p与天数x之间的函数关系式；
（2）根据（1）所得的关系式及销售量q（千克）与天数x（天）之间满足q=100x+1550，可表示出销售收入的二次函数表达式，求最值即可得出答案；
（3）根据第二周价格与销量的变化，第二周该果园基地销售总额共计143500元可得出关于a的方程，解出即可得出答案．
点评：此题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式及公式法求二次函数最值的知识，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是认真审题，将实际问题转化为数学问题解答．