Question

在四边形ABCD中，∠C=90°，∠A=45°，∠CBD=30°，∠DBA=75°，若AB=100，求BC的长．

Answer 1

解：过B点作BE⊥AD于E，则∠BED=∠C=90°．
在△BCD中，∠BDC=180°-∠C-∠CBD=60°，
在四边形ABCD中，∠ADB=360°-∠A-∠ABD-∠CBD-∠C-∠BDC=60°，
∴∠BDC=∠ADB．
在△BDC与△BDE中，
，
∴△BDC≌△BDE，
∴BC=BE．
在△ABE中，∠AEB=90°，∠A=45°，
∴∠ABE=45°，
∴AE=BE=AB，
∴BC=BE=×100=50．
分析：过B点作BE⊥AD于E，则∠BED=∠C=90°，运用AAS证明△BDC≌△BDE，得出BC=BE．然后证明△ABE是等腰直角三角形，根据勾股定理得出BE=AB，从而求出BC的长．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形、四边形的内角和定理，等腰直角三角形的判定及勾股定理，综合性较强，有一定难度．关键是作辅助线构造全等．