Question

如图，某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地ABCD，其中AB∥DC，∠B=90°，AB=100m，BC=80m，CD=40m，现计划在上面建设一个面积为S的矩形综合楼PMBN，其中点P在线段AD上，且PM的长至少为36m．
（1）求边AD的长；
（2）设PA=x（m），求S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）若S=3300m²，求PA的长．（精确到0.1m）

Answer 1

分析：（1）可通过构建直角三角形进行求解，过D作AB的垂线，那么可在构建的直角三角形中，根据梯形两底的差和梯形的高，用勾股定理求出AD的长．
（2）可根据（1）中构建的直角三角形求出∠A的正弦和余弦值，然后在直角三角形AMP中，表示出AM，PM的长，进而可根据AB的长，表示出矩形的长BM的值，由此可根据矩形的面积公式得出关于S、x的函数关系式．自变量的取值范围可根据PM的长至少为36m来解，即让PM的表达式大于等于36即可．
（3）可将S的值代入（2）所求得的函数解析式中，求出x的值，然后看x的值是否符合自变量的取值范围．

解答：解：（1）过点D作DE⊥AB于E
则DE∥BC且DE=BC，CD=BE，DE∥PM
Rt△ADE中，DE=80m
∴AE=AB-BE=100-40=60m
∴AD=

AE2+DE2

=

3600+6400

=100m

（2）∵DE∥PM
∴△APM∽△ADE
∴

AP

AD

=

PM

DE

=

AM

AE

即

x

100

=

PM

80

=

AM

60

∴PM=

4

5

x，AM=

3

5

x
即MB=AB-AM=100-

3

5

x
S=PM•MB=

4

5

x•（100-

3

5

x）=-

12

25

x²+80x
由PM=

4

5

x≥36，得x≥45
∴自变量x的取值范围为45≤x≤100

（3）当S=3300m²时，
80x-

12

25

x²=3300
12x²-2000x+82500=0
3x²-500x+20625=0
x=

500± (-500)2-4×3×20625

6

=

500±50

6

∴x₁=

550

6

≈91.7（m），x₂=

450

6

=75（m）
即当s=3300m²时，PA的长为75m，或约为91.7m．

点评：本题结合实际问题考查了二次函数的应用，正确的用x表示出矩形的长和宽是解题的关键．