Question

我们知道：选用同一长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m，n，那么就说两条线段的比AB：CD=m：
n，如果把

m

n

表示成比值k，那么

AB

CD

=k，或AB=kCD．请完成以下问题：
（1）四条线段a，b，c，d中，如果

 

，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段．
（2）已知

a

b

=

c

d

=2，那么

a+b

b

=

 

，

c+d

d

=

 

（3）如果

a

b

=

c

d

，那么

a-b

b

=

c-d

d

成立吗？请用两种方法说明其中的理由．
（4）如果

x+y

z

=

y+z

x

=

z+x

y

=m，求m的值．

Answer 1

考点：比例线段

专题：

分析：（1）根据成比例线段的定义作答；
（2）由

a

b

=

c

d

=2，得a=2b，c=2d，代入计算即可求解；
（3）利用等式的性质两边减去1即可证明；设

a

b

=

c

d

=k，那么a=kb，c=kd，代入即可证明；
（4）可分x+y+z=0和x+y+z≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解．

解答：解：（1）四条线段a，b，c，d中，如果a：b=c：d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段；

（2）∵

a

b

=

c

d

=2，
∴a=2b，c=2d，
∴

a+b

b

=

2b+b

b

=3，

c+d

d

=

2d+d

d

=3．

（3）如果

a

b

=

c

d

，那么

a-b

b

=

c-d

d

成立．理由如下：
证明一：∵

a

b

=

c

d

，
∴

a

b

-1=

c

d

-1，即

a

b

-

b

b

=

c

d

-

d

d

，
∴

a-b

b

=

c-d

d

；
证明二：设

a

b

=

c

d

=k，那么a=kb，c=kd，
∵

a-b

b

=

kb-b

b

=k-1，

c-d

d

=

kd-d

d

=k-1，
∴

a-b

b

=

c-d

d

；

（4）①当x+y+z=0时，
y+z=-x，z+x=y，x+y=-z，
∴m为其中任何一个比值，即m=

-x

x

=-1；
②x+y+z≠0时，
m=

y+z+z+x+x+y

x+y+z

=

2(x+y+z)

x+y+z

=2．
所以m=2或-1．
故答案为a：b=c：d；3，3．

点评：本题考查了比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．同时考查了比例的性质．