Question

12．如图，点O为等边三角形ABC内一点，连结OA、OB、OC，以OB为一边作∠OBM=60°，且BO=BM，连结CM、OM．
（1）判断AO与CM的大小关系并证明．
（2）若OA=8，OC=6，OB=10，判断△OMC的形状并证明．

Answer 1

分析 （1）证明∴△OBM是等边三角形，得出OM=OB，∠ABC=∠OBC，由SAS证明△AOB≌△CMB，即可得出结论；
（2）由勾股定理的逆定理即可得出结论．

解答 解：（1）AO=CM；理由如下：
∵∠OBM=60°，OB=BM，
∴△OBM是等边三角形
∴OM=OB=10，
∠ABC=∠OBC=60°
∴∠ABO=∠CBM，
在△AOB和△CMB中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OM}&{\;}\\{∠ABO=∠CBM}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△CMB（SAS），
∴OA=MC；
（2）△OMC是直角三角形；理由如下：
在△OMC中，OM²=100，OC²+CM²=6²+8²=100，
∴OM²=OC²+CM²，
∴△OMC是直角三角形

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理；证明三角形全等是解决问题的关键．