Question

若BC为圆O的直径，A为⊙O上一点，AD⊥BC于D，EA切⊙O于A，交BC延长线于E，∠EAD=54°，则∠DAC的度数=

27°

．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，连接OA，由AE为圆O的切线，根据切线的性质得到OA与AE垂直，可得∠OAE为直角，由∠OAD=∠OAE-∠EAD，根据∠EAD的度数求出∠OAD的度数，又AD与BC垂直，可得三角形OAD为直角三角形，可得出∠AOD的度数，由OA=OC，根据等边对等角可得∠OAC与∠OCA相等，且根据顶角的度数求出底角的度数，最后由∠OAC-∠OAD即可求出∠DAC的度数．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：

连接OA，由AE与圆O相切，得到OA⊥AE，
∴∠OAE=90°，又∠EAD=54°，
∴∠OAD=90°-54°=36°，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADO=90°，
∴∠AOD=54°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=

180°-∠AOC

2

=63°，
则∠DAC=∠OAC-∠OAD=63°-36°=27°．
故答案为：27°．

点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，利用了等量代换及转化的数学思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，同时注意连接OA．