Question

1．如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，点D落在点D′处，折痕交AD于点F，交BC于点E，连接CF，有下列结论：①△AEF是等腰三角形；②四边形AECF是菱形；③若DF=3cm，△CDF的周长为12cm，则矩形ABCD的面积为32cm²，其中正确的结论有（　　）

• A． ②
• B． ②③
• C． ①②
• D． ①②③

Answer 1

分析 根据翻折变换的性质、平行线的性质判断①；连接AC交EF于点O，根据翻折变换的性质和菱形的判定定理判断②；根据勾股定理求出CD、AD的长，根据矩形的面积公式计算，判断③．

解答 解：由翻转变换的性质可知，∠AEF=∠CEF，
∵AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形，①正确；
连接AC交EF于点O，
由翻转变换的性质可知，FA=FC，OA=OC，∠AOF=∠COF=90°，
∵AD∥BC，OA=OC，
∴OE=OF，又OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，又∠COF=90°，
∴四边形AECF是菱形，②正确；
∵DF=3cm，△CDF的周长为12cm，
∴CF=9-CD，
由勾股定理得，（9-CD）²=CD²+3²，
解得，CD=4，
则FC=5，
∴FA=FC=5，即AD=8，
∴矩形ABCD的面积为：4×8=32cm²，③正确，
故选：D．

点评 本题考查的是翻折变换的性质、菱形的判定、矩形的性质，掌握翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．