Question

如图，已知点A（6，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过点P、O的二次函数y₁和过点P、A的二次函数y₂的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当0D=AD=5时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）

• A、

  5

• B、

  4

  3

  5

• C、3
• D、4

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=5，DE=4．设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出

BF

DE

=

OF

OE

=

CM

DE

=

AM

AE

，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．

解答：解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM，
∵OD=AD=5，DE⊥OA，
∴OE=EA=

1

2

OA=3，
由勾股定理得：DE=4．
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴

BF

DE

=

OF

OE

=

CM

DE

=

AM

AE

，
∵AM=PM=

1

2

（OA-OP）=

1

2

（6-2x）=3-x，
即

BF

4

=

x

3

，

CM

4

=

3-x

3

，
解得：BF=

4

3

x，CM=4-

4

3

x，
∴BF+CM=4．
故选D．

点评：此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．