Question

（2012•绵阳）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C=60°．
（1）求∠APB的大小；
（2）若PO=20cm，求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）由PA、PB分别切⊙O于A、B，由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小；
（2）由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长，继而求得答案．

解答：解：（1）∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，
∴∠APB=360°-∠PAO-∠PBO-∠AOB=60°；

（2）∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=

1

2

∠APB=

1

2

×60°=30°，PA=PB，
∴P在AB的垂直平分线上，
∵OA=OB，
∴O在AB的垂直平分线上，
即OP是AB的垂直平分线，
即OD⊥AB，AD=BD=

1

2

AB，
∵∠PAO=90°，
∴∠AOP=60°，
在Rt△PAO中，AO=

1

2

PO=

1

2

×20=10（cm），
在Rt△AOD中，AD=AO•sin60°=10×

3

2

=5

3

（cm），OD=OA•cos60°=10×

1

2

=5（cm），
∴AB=2AD=10

3

cm，
∴△AOB的面积为：

1

2

AB•OD=

1

2

×10

3

×5=25

3

（cm²）．

点评：此题考查了切线的性质、切线长定理、三角函数以及线段垂直平分线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．