Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，BD是⊙O的直径，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且BF=BE． 
（1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BF=6，cosC=

4

5

，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）根据等腰三角形性质求出∠FBA=∠EBA=∠C，推出∠D=∠C=∠FBA，根据∠DAB=90°推出∠D+∠DBA=90°，求出∠ABD+∠FBA=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）设AD=4x，BD=5x，求出AB=3x，根据三角形面积公式求出DF，根据勾股定理得出关于x的方程，求出x，即可求出答案．

解答：解：（1）BF与⊙O的位置关系是相切，
理由是：∵∠D和∠C都对弧AB，
∴∠C=∠D，
∵BD是直径，
∴∠DAB=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，
∴∠C+∠ABD=90°，
∵∠DAB=90°，
∴BA⊥EF，
∵BE=BF，
∴∠EBA=∠FBA，
∵AB=AC，
∴∠C=∠EBA=∠FBA，
∵∠C+∠ABD=90°（已证），
∴∠FBA+∠ABD=90°，
∴∠FBD=90°，
∵OB是半径，
∴BF是⊙O的切线，
即BF与⊙O的位置关系是相切；

（2）∵BD是直径，
∴∠BAD=∠BAF=90°，
∵cosC=

4

5

，
∴cosD=cosC=

4

5

=

DA

BD

，
设DA=4x，BD=5x，由勾股定理得：BA=3x，
在Rt△DBF中，由三角形面积公式得：BD×BF=DF×BA，
即5x•6=DF•3x，
解得：DF=10，
即AF=10-4x，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：（3x）²+（10-4x）²=6²，
解得：x₁=x₂=

8

5

，
BD=5x=8，
即⊙O的直径是8．

点评：本题考查了三角形面积，等腰三角形性质，勾股定理，扇形面积，圆周角定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．