Question

问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：

甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．
乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．
丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：
（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
（2）如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式156²+208²=260²）

Answer 1

分析：此题属于实际应用问题，解题时首先要理解题意，然后将实际问题转化为数学问题进行解答；此题需要转化为相似三角形的问题解答，利用相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例解答．

解答：解：（1）由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．
∴△ABC∽△DEF．
∴

AB

DE

=

AC

DF

，即

80

DE

=

60

900

，（2分）
∴DE=1200（cm）．
所以，学校旗杆的高度是12m．（3分）

（2）解法一：
与①类似得：

AB

GN

=

AC

GH

，即

80

GN

=

60

156

，
∴GN=208．（4分）
在Rt△NGH中，根据勾股定理得：NH²=156²+208²=260²，
∴NH=260．（5分）
设⊙O的半径为rcm，连接OM，
∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（6分）
则∠OMN=∠HGN=90°，
又∵∠ONM=∠HNG，
∴△OMN∽△HGN，
∴

OM

HG

=

ON

HN

（7分），
又ON=OK+KN=OK+（GN-GK）=r+8，
∴

r

156

=

r+8

260

，
解得：r=12．
∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）

解法二：
与①类似得：

AB

GN

=

AC

GH

，
即

80

GN

=

60

156

，
∴GN=208．（4分）
设⊙O的半径为rcm，连接OM，
∵NH切⊙O于M，
∴OM⊥NH．（5分）
则∠OMN=∠HGN=90°，
又∵∠ONM=∠HNG，
∴△OMN∽△HGN．
∴

OM

HG

=

MN

GN

，
即

r

156

=

MN

208

，（6分）
∴MN=

4

3

r，
又∵ON=OK+KN=OK+（GN-GK）=r+8．（7分）
在Rt△OMN中，根据勾股定理得：
r²+（

4

3

r）²=（r+8）²即r²-9r-36=0，
解得：r₁=12，r₂=-3（不合题意，舍去），
∴景灯灯罩的半径是12cm．（8分）

点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了转化的思想．此题的文字叙述比较多，解题时要认真分析题意．