Question

如图，直线AC∥BD，连结AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①，②，③，④四个部分，规定：线上格点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连结PA，PB，构成∠PAC，∠PBD，∠APB三个角．
（1）当动点P落在第①部分时，求证∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠PAC，∠PBD，∠APB有什么样的数量关系？并证明；
（3）当动点P落在第③，④部分时，∠PAC，∠PBD，∠APB有什么样的数量关系？（直接写出关系，不需要证明）

Answer 1

考点：平行线的性质

专题：

分析：（1）首先过点P做AC的平行线，交AB于点E，进而利用平行线的性质得出即可；
（2）首先过点P做AC的平行线，交AB于点E，进而利用平行线的性质得出即可；
（3）利用平行线的性质以及三角形的外角的性质得出即可．

解答：解：（1）过点P做AC的平行线，交AB于点E，
∵PE∥AC，AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠EPB，
∴∠APB=∠APE+∠EPB=∠PAC+∠PBD；

（2）∠APB+∠PAC+∠PBD=360°，
过点P做AC的平行线，交AB于点E，
∵PE∥AC，AC∥BD，
∴PE∥BD，
∴∠PAC+∠APE=180°，∠PBD+∠EPB=180°，
∴∠APB+∠PAC+∠PBD=∠APE+∠EPB+∠PAC+∠PBD=360°；

（3）如图所示：当点P落在第③部分时，∠PAC=∠PBD+∠APB；
当点P落在第④部分时，∠PAC=∠PBD+∠APB．

点评：此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质做出辅助线是解题关键．