Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S₁，△ABN的面积为S₂，且S₁=6S₂，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，
将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，
得，解得，
所以直线BC的解析式为y=-x+5；
将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x²+bx+c，
得，解得，
所以抛物线的解析式为y=x²-6x+5；

（2）设M（x，x²-6x+5）（1＜x＜5），则N（x，-x+5），
∵MN=（-x+5）-（x²-6x+5）=-x²+5x=-（x-）²+，
∴当x=时，MN有最大值；

（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，
∴-x+5=-2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．
解方程x²-6x+5=0，得x=1或5，
∴A（1，0），B（5，0），
∴AB=5-1=4，
∴△ABN的面积S₂=×4×2.5=5，
∴平行四边形CBPQ的面积S₁=6S₂=30．
设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．
∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．
过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．
∵BC⊥BD，∠OBC=45°，
∴∠EBD=45°，
∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，
∵B（5，0），
∴E（-1，0），
设直线PQ的解析式为y=-x+t，
将E（-1，0）代入，得1+t=0，解得t=-1
∴直线PQ的解析式为y=-x-1．
解方程组，得，，
∴点P的坐标为P₁（2，-3）（与点D重合）或P₂（3，-4）．
分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；
（3）先求出△ABN的面积S₂=5，则S₁=6S₂=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（-1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=-x-1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组、数形结合的思想方法．（2）中弄清线段MN长度的函数意义是关键，（3）中确定P与Q的位置是关键．