Question

平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，已知AB=AC=4，∠ABC=60°．
（1）求证：ABCD是菱形；
（2）求BD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；

（2）解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB=OD，
∵AB=AC=4，△ABC是等边三角形，
∴OB=×4=2，
∴BD=2OB=2×2=4．
分析：（1）先判定△ABC是等边三角形，再根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BC，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；
（2）根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OB=OD，再根据等边三角形的性质求出OB，从而得解．
点评：本题考查了菱形的判定，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，比较简单，判定出△ABC是等边三角形是解题的关键，也是本题的突破口．