Question

△ABC中，AB=AC=9，BC=6，K为AC边上的中点，⊙O是△ABC的内切圆，AB、AC、BC边上的切点分别为D、E、F，
（1）求⊙O的半径；
（2）求OK的长；
（3）如果⊙O′与边AB、AC都相切，并与直线DE相交，求⊙O′的半径r的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先利用切线的性质定理得出OD⊥AB，AF⊥BC，再利用勾股定理得出AF，利用锐角三角函数关系求出r即可；
（2）首先得出AK的长，进而得出KE，再利用勾股定理求出OK即可；
（3）首先求出⊙O′与边AB、AC都相切且与DE相切时两圆的半径，进而得出⊙O′的半径r的取值范围．

解答：解：（1）如图1，连接AF，OD，
设⊙O的半径为r，
∵AB、BC边上的切点分别为D、F，AB=AC，
∴AF必过点O，OD⊥AB，AF⊥BC，EC=FC，
∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=FC=3，
则AF=

AC2-FC2

=

92-32

=6

2

，
sin∠BAF=

3

9

=

r

6 2 -r

，
解得：r=

3 2

2

；

（2）如图2，连OE，
由（1）中可得：AE=AC-EC=AC-FC=9-3=6，
∵K为AC边上的中点，
∴AK=

1

2

AC=

9

2

，
∴KE=6-

9

2

=

3

2

，
∴OK=

KE2+OE2

=

( 3 2 )2+( 3 2 2 )2

=

3 3

2

；

（3）如图3，设AC与⊙O″相切于点H，AC与⊙O′相切于点G，
∵DE∥BC，
∴△AME∽△AFC
∴

AM

AF

=

AE

AC

=

DE

BC

，
∴

AM

6 2

=

6

9

=

DE

6

，
解得：DE=4，AM=4

2

，
设⊙O′的半径为r₁，⊙O″的半径为r₂，
sin∠GAO′=

r1

r1+4 2

=

1

3

，
解得：r₁=2

2

，
sin∠HAO″=

r2

4 2 -r2

=

1

3

，
解得：r2=

2

，
故半径r的取值范围为

2

＜r＜2

2

．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质定理和勾股定理、平行线的性质等知识，根据已知找出关键点是解题关键．