Question

如图，四边形ABDE、ACFG都是△ABC外侧的正方形，M是线段DF中点，MH⊥BC于H．求证：

(1)H为BC的中点；

(2)MH＝BC．

Answer 1

答案：
解析：

证明：过D、A、F分别向直线BC作垂线，垂足分别为P、T、Q，则 　　∵四边形ABDE是正方形， 　　∴BD＝BA，∠2与∠1互余． 　　又∠2与∠3互余， 　　∴∠1＝∠3． 　　∴Rt△BDP≌Rt△ABT． 　　∴DP＝BT，BP＝AT． 　　同理FQ＝TC，CQ＝AT． 　　∴PB＝CQ． 　　又由DP∥MH∥FQ，DM＝MF， 　　∴PH＝QH． 　　∴BH＝PH－PB＝HQ－CQ＝HC． 　　且BC＝BT＋TC＝DP＋FQ． 　　又MH为梯形DPQF的中位线， 　　∴MH＝(DP＋FQ)＝BC．

提示：

点悟：由于M为线段DF的中点，可构造梯形的中位线，可让DF为梯形的一腰，又由MH⊥BC；可过D、F分别向直线BC作垂线．这样MH即为直角梯形DPQF的中位线．只须证PB＝CQ，便有(1)成立；只要证BC＝PD＋FQ，便有(2)成立． 　　点拨：三角形及梯形的中位线，可实现等量关系的转化．