Question

如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ADO的面积记作S₁，△BCO的面积记作S₂，△ABO的面积记作S₃，△CDO的面积记作S₄，则下列关系正确是（　　）

• A、S₁=S₂
• B、S₁×S₂=S₃×S₄
• C、S₁+S₂=S₄+S₃
• D、S₂=2S₃

Answer 1

分析：首先作出高线，利用高与梯形的上、下底即可表示出三角形的面积，即可作出判断．

解答：解：A、∵AD∥BC
∴△AOD∽△BOC
两个三角形的相似比是：

AD

BC

≠1，则S₁=S₂一定不成立．故A错误；
B、S₁=

1

2

AD•OE，S₂=

1

2

BC•OF，S₃=

1

2

AD•EF=AD（OE+OF）-S₁=

1

2

AD（OE+OF）-

1

2

AD•OE=

1

2

AD•OF，
S₄=BC•EF=BC（OE+OF）-S₂=BC（OE+OF）-BC•OF=BC•OE
∴S₁•S₂=AD•OE•BC•OF，S₃•S₄=AD•OF•BC•OE
∴S₁×S₂=S₃×S₄
故B正确；
S₁+S₂=AD•OE+BC•OF，而S₃+S₄=AD•OF+BC•OE，故C错误；
D、S₁=AD•OE，S₃=AD•EF=AD（OE+OF）-S₁=AD（OE+OF）-AD•OE=AD•OF，OF=2OE不一定成立，故D错误．
故选B．

点评：本题主要考查了梯形的性质，以及相似三角形的判定与性质，正确表示出各个三角形的面积是解题的关键．