Question

如图，△ABC内接于⊙O，外角∠BAM的平分线与⊙O交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，下列结论：①AE=AF；②；③BE=CF；④DF为⊙O的切线．其中正确的是

1. A.
   ①②④
2. B.
   ②③④
3. C.
   ①③④
4. D.
   ①②③

Answer 1

D
分析：根据HL定理以及外角的性质和圆心角定理，分别进行判断即可得出答案．
解答：解：连接BD，CD，
∵△ABC内接于⊙O，外角∠BAM的平分线与⊙O交于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DF=DE，
∵在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AE=AF，
故①正确；
∵∠ABC+∠ACB=∠BAF，
∠BAD=∠DAF，
∴∠BAD=（∠ABC+∠ACB），
∴=，
∴②，故②正确；
∵，
∴BD=CD，
∵DE=DF，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE=CF，故③正确；
无法证明DF为⊙O的切线，故④选项错误，
故①②③正确，
故选：D．
点评：此题主要考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定等知识，根据已知得出∠BAD=（∠ABC+∠ACB）进而得到是解题关键．