Question

等边△ABC是⊙O的内接三角形，D是⊙O上一点，连接CD并延长交AB的延长线于点F，过点B作BE∥AC交CF于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若AC=6，CD=4，求CF的值．

Answer 1

（1）证明：如图，连接BO并延长交⊙O于点G，连接CG．则∠BCG=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=∠ACB=60°，
∴∠CGB=∠CAB=60°
∴∠CBG=30°．
∵AC∥BE
∴∠CBE=∠ACB=60°
∴∠CBE+∠CBG=∠GBE=90°，
∴BE是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接AD．则∠ADC=∠ABC．
∵∠ABC=∠BAC=60°
∴∠BAC=∠ADC=60°，
∵∠ACD=∠FCA
∴△CFA∽△CAD
∴．
∵AC=6，CD=4
∴．
分析：（1）如图，连接BO并延长交⊙O于点G，连接CG．欲证明BE是⊙O的切线，只需证得GB⊥BE即可；
（2）如图，连接AD．构建相似三角形：△CFA∽△CAD．所以通过相似三角形的对应边成比例得到，把相关线段的长度代入即可求得．
点评：本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．